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 La spirale logarithmique.               

 Quelques équations utiles en acoustique.

On considère les vecteurs "rayons"  : 

  -  F0 en vert

  -  F n  en rouge.

 

L'angle A formé par ces deux vecteurs

 

 

Arbitrairement, les propriétés de cette spirale font que son "rayon" est multiplié par deux à chaque rotation, comme la fréquence d'une note est multipliée par deux à chaque octave. Une rotation fait donc une octave. 

Nous exprimerons les angles non pas en degrés ou radians mais en demi-tons (12 pour une rotation soient 12 demis-tons par octave) ou en centièmes (1200 pour une rotation soient 12 x 100 centièmes par octave) ... tout autre unité de division régulière donc tempérée de l'octave conviendrait.

Nous exprimerons les fréquences F en Hz. (Hertz : unité déterminant le nombre de vibrations par seconde)

Évidement, cette spirale est enroulée autour d'un point asymptote qui figure en fait l'absence de vibration, la fréquence "zéro"... Vue de l'esprit chère aux mathématiciens  comme la tendance vers l'infini que notre spirale cherche en se déroulant...

La similitude que cette -représentation graphique d'une relation mathématique- présente avec la structure de l'oreille interne est troublante ... A creuser pour peut être comprendre mieux le fonctionnement de l'oreille.

Pragmatiquement , si l'on considère la section où F est compris entre 32 et 8200 Hz  ... (soient environ les 8 octaves du piano donc 8 tours de spirales ...) ; Chaque point de la spirale est une note caractérisée par sa hauteur (vecteurs F comme fréquence) et par l'angle A exprimant  l'intervalle qui la relie à la note de référence (dont la fréquence est F 0 ).

Faute de véritable équation paramétrique, (Elle reste à trouver, amis matheux !) nous pouvons considérer les relations suivantes :

    et son inversion :  

 l'angle A étant exprimé ici en centièmes.

A devant être positif, on permute Fn et F0 pour rechercher dans l'autre sens.

Voici donc une formule générale qui permet d'établir les relations entre fréquences et intervalles quel que soit le système (modal ou tempéré) et le diapason de référence.

Par exemple:

On sait que la quinte juste harmonique correspond au rapport 3/2. On a donc:

 A = 12 multiplié par ( log3 - log2 sur log2) = 12 multiplié par  0,5849625 = 7,01955 soit approximativement 7,02 demis tons tempérés  ...  la quinte juste sonne donc deux centièmes plus haut que la quinte tempérée ce qui est facile à vérifier.

En facture instrumentale:  On peut déduire les longueurs vibrantes de cordes, donc le frettage d'une guitare par exemple mais aussi les longueurs et les diamètres des colonnes d'air dans les instruments à vent . L'application qui suit est adaptée aux mesures de tuyaux d'orgues mais est utilisable pour calculer la longueur d'une flûte décalée ou transposée par rapport à une flûte de référence.

Les calculs de Mahillon

Dans son ouvrage Éléments d'acoustique musicale et instrumentale, Mahillon publie des tables de correspondance entre les longueurs, les diamètres et la note donnée par des tuyaux d'orgue. Ces tables sont établies d'aprés d'antiques mesures effectuées par les Chinois . Il s'avère que pour faire sonner un tuyau une octave plus grave, il faut multiplier sa longueur par 2 et son diamètre par Cela nous suffit pour tout recalculer facilement quel que soit l'intervalle (transposition ou micro-intervalle) demandé ou même pour un changement de diapason.

A l'époque de Mahillon, on savait extraire les racines n èmes  mais on ne savait pas utiliser les exposants non entiers, d'où calculs fastidieux d'interpolation... Aujourd'hui, c'est à la portée d'un élève de 1ère avec une calculette! 

Voici la méthode pour calculer la longueur d'un tuyau au diapason la = Fn par rapport au diapason la = F0 ; Ou si l'on connaît l'écart en centième entre les notes des deux tuyaux 

Ln   est la longueur du nouveau tuyau

L0   est la longueur du tuyau de référence

A  est l'intervalle en centièmes entre la note du tuyau de référence et celle du nouveau tuyau. 

Pour les diamètres, c'est à peine plus complexe, on dira que le rayon de la spirale est multiplié par  à chaque "tour".

Dn   est le diamètre du nouveau tuyau

D0  est le diamètre du tuyau de référence

A , F , Fsont définis comme au dessus.

Si le nouveau tuyau est plus grave que le tuyau de référence on prend A positif et on permute Ln et L0  ainsi que Dn et D0   et  Bien sur  Fet   F0